Analyse de la concentration

La fonction de concentration (chapitre 2) est définie sur l’intervalle [0, 1]. Elle associe à une proportion p la valeur C(p) définie par :

C(p) = S(p) / S

où S(p) est le cumul des p % valeurs observées les plus petites et S la somme de toutes les valeurs.

On note x(1), x(2), x(3), …, x(n) les observations rangées suivant les valeurs croissantes.

· L’équiconcentration signifie que les termes sont constants et égaux à leur somme S divisée par le nombre d’observations. En effet, on a :

k = 1, p = 1/n	1/n	= x(1)/S
k = 2, p = 2/n	2/n	= [ x(1) + x(2)]/S
		= x(1)/S + x(2)/S
		= 1/n + x(2)/S

On obtient 1/n = x(2)/S et ainsi de suite.

· La fonction C(p) est croissante et égale à 1 lorsque p = 1 (ou k = n). Cette propriété est évidente :

	k		k’
pour tout k £ k’	S	x(i) £	S	x(i)
	i = 1		i = 1

· C(p) augmente de plus en plus vite. Considérons p = k/n , p’ = (k+1)/n et
p’’ = (k+2)/n . On a :

C(p’) – C(p)	= x(k+1)/S
C(p’’) – C(p’)	= x(k+2)/S

Les observations sont classées suivant les valeurs croissantes. On en déduit :

C(p’) – C(p) £ C(p’’)– C(p’)

· C(p) est toujours inférieur à p, ce qui signifie que la courbe de concentration est toujours en dessous de la droite y = x.. C’est une démonstration par l’absurde un peu compliquée. Pour la simplifier, nous supposons tous les termes distincts.

Supposons C(p₀) > p₀ = k₀/n . Si x(k₀) est inférieur ou égal à S/n , on a, puisque les observations (toutes distinctes) sont classées suivant les valeurs croissantes :

pour tout i < k0

x(i) <S/n.

D’où :

	k0
C(p0) =	S	x(i)/S < k0/n
	i = 1

ce qui est impossible par hypothèse sur C(p₀). Le terme x(k₀) et les suivants sont donc supérieurs ou égaux à S/n .

Calculons maintenant la concentration en p = 1 (ou pour k = n) :

	k0		n
	S	x(i) +	S	x(i)]
	i = 1		i = k0+1
C[n/n] = C(1)=	^_________	^_________	^___________	^_______
		n
		S	x(i)
		i = 1

> C(p₀) + (n – k₀)/n

> k₀/n + ( n – k₀)/n = 1

La dernière inégalité étant impossible, on a toujours C(p₀)£ p₀.